Математический маятник и его свойства

Маятник (или осциллятор) – это, в общем смысле, любое тело, совершающее колебательные движения. Он может быть физическим или математическим. Обычно разницу между ними принято иллюстрировать так: математический маятник – это груз, подвешенный на веревку при условии того, что можно пренебречь его массой и размерами, натяжением веревки, также чаще всего углом наклона маятника по отношению к стартовой позиции, но главное – потерями энергии в окружающую среду. Таким образом, математический маятник будет продолжать колебаться вечно. В свою очередь физический маятник – это пружина, последовательно сжимающаяся и разжимающаяся на определенное количество сантиметров. Очевидно что все объекты в экспериментах будут являться физическими, но для удобства расчетов некоторые из них можно будет представить как математические.

Если же говорить о числах, то самым важным будет циклическая частота маятника – это число колебаний, которое он совершит за 2π секунд. Не менее важен и период колебания маятника – время, за которое совершается одно колебательное движение и маятник возвращается в прежнюю точку. Для обоих значений есть несложные формулы, в которые можно подставить экспериментальные данные.

В следующих проектах вы познакомитесь с простым гармоническим движением, влиянием факторов на период качания, сделаете волновой аппарат и даже сможете рисовать с помощью маятника.

Проект: “Простое гармоническое движение”

Тип движений, совершаемых маятником, в физике называется простым гармоническим: при отклонении от изначальной позиции на маятник действует сила, возвращающая его в изначальное положение, а при возврате – сила, “выталкивающая” его в противоположную сторону. Этот цикл взаимодействия сил повторяется снова и снова, создавая то, что известно как колебания математического маятника. Эта модель прекрасно демонстрирует закон сохранения энергии – идею о том, что энергию нельзя создать или разрушить, она может лишь изменить свою форму и быть сообщенной от одного объекта другому.

Колебания пружинного маятника происходят несколько иначе (пружинный маятник – это другое название физического, при этом наличие в нем настоящей пружины необязательно). В данном случае часть энергии переходит во внешнюю среду – в основном за счет теплообмена и трения воздуха. Количество потерянной за один период пружинного маятника энергии невелико, но со временем это приводит к тому, что колебания окончательно останавливаются. Но часть этой энергии можно и использовать – например, перенаправив на другой маятник.

В этом эксперименте вы попробуете передать энергию одного осциллятора другому внутри одной системы.

Что нам понадобится

• Нить или веревка длиной в несколько метров;
• Канцелярские ножницы;
• Грузы одинакового веса, которые можно привязать к веревке (например шайбы или алюминиевые цилиндры с крючками);

Ход эксперимента

1. Подготовьте кусок веревки длиной примерно в 1,5 метра. Зафиксируйте ее горизонтально, привязав оба конца к какой-либо поверхности.
2. Найдите середину веревки и завяжите узлы так, чтобы большая ее часть оставалась свободной.
3. Отрежьте еще два 30-сантиметровых куска вервки и закрепите на конце каждой из них по грузу.
4. Привяжите получившиеся веревки к уже подвешенной по обе стороны от центра на расстоянии примерно 2-3 сантиметра.
5. Уравновесьте маятники, а затем отклоните один из них и отпустите его так, чтобы он начал раскачиваться. Внимательно наблюдайте как за колебаниями первого, так и за колебаниями второго маятника. Продолжайте на протяжении нескольких минут. Зафиксируйте свои наблюдения.

Вывод

Давайте разберемся в том, что именно управляет движением маятников в этом эксперименте – а именно в том, как перемещается и трансформируется энергия.

Отклоняя первый маятник, в своим действием сообщаете системе какое-то количество потенциальной энергии. В следующий момент времени эта энергия возвращает его в изначальное положение, но он не останавливается – накопленная энергия не позволяет осциллятору сделать это. В момент нахождения маятника в условной “нулевой” точке вся его энергия переходит в состояние кинетической, а при обратном движении снова начинает трансформироваться в потенциальную. Так может происходить разное количество времени: в случае математического маятника – бесконечно, а в случае пружинного маятника – до тех пор, пока случайные потери энергии не заставят его остановиться. Это базовая схема колебаний любого осциллятора с точки зрения физических сил.

Но как именно осцилляции одного маятника передаются другому? Ответ прост: через нить. Сначала небольшая часть энергии передается нили первого маятника, оттуда переходит на общую нить, а затем и на другой маятник. Первый и третий шаг заметить очень сложно – чаще всего колебания и без того движущихся нитей трудно засечь невооруженным глазом. Но если вы попробуете присмотреться к общей нити то без труда заметите кратковременные вибрации, отражающие то, как энергия передается от от первого маятника ко второму (а позже и обратно).

Вы могли заметить, что маятники раскачиваются неравно – это происходит потому, что за один период физического маятника передается примерно одинаковое количество энергии, и соответственно один из грузов начинает замедлять свое движение, а другой, наоборот, разгоняться.

Разумеется, бесконечно передаваться может только энергия математических маятников. Экспериментальная же установка в конечном счете прекратит свои колебания.

Проект: “Влияние факторов на период качания маятника”

Вы когда-нибудь думали о том, как можно измерять время на необитаемом острове без техники? Вот вам возможный вариант – построить свои маятниковые часы! Но в первую очередь вам нужно выяснить, какими должны быть частота колебаний маятника и длина нити и как отмерить их так, чтобы период был равен 1 секунде.

Что нам понадобится

• Грузы (одинаковые);
• Нить;
• Прибор для измерения времени (секундомер);
• Коктейльная трубочка;
• Скотч;
• Канцелярская линейка или рулетка;
• Принадлежности для записей;
• Стол;

Ход эксперимента

1. Привяжите один из грузов к нити.
2. Наденьте трубочку на нить и приклейте так, чтобы остался “хвост” длиной в 1-2 сантиметра.
3. Приклейте конструкцию к краю стола так, чтобы она свешивалась.
4. Зафиксируйте подвешенную часть.
5. Запустите колебания маятника. Следите за тем, чтобы он шел строго параллельно столу, не ударялся и не вибрировал. Добейтесь того, чтобы груз двигался непрерывно и строго по дуге.
6. Включите секундомер.
7. Начните отсчитывать колебания маятника от точки запуска (колебание совершается тогда, когда груз возвращается в начальную позицию). Остановите секундомер тогда, когда отсчитаете 10 колебаний (если ваша нить-подвес оказалась слишком длинной или слишком короткой, вы можете изменить количество колебаний).
8. Запишите получившееся время и длину веревки.
9. Для точности результата повторите действия 4-8 три раза и найдите среднее арифметическое значение по всем параметрам.
10. Вычислите средний период математического маятника: он равен количеству покачиваний, разделенному на время, за которое они совершились.
11. Уменьшите длину нити математического маятника на несколько сантиметров.
12. Снова повторите шаги 4-10. Вычислите и запишите все необходимые данные.
13. Теперь увеличьте длину нити вашего математического маятника примерно вдвое (следите за тем, чтобы она достаточно сильно отличалась от предыдущих длин) и снова повторите шаги 4-10 и проведите все сопутствующие вычисления. Зафиксируйте полученные результаты.
14. Попробуйте вернуться к исходным параметрам и увеличить угол наклона маятника в стартовом положении – потяните его в сторону примерно на 10 сантиметров.
15. Повторите эксперимент снова, но теперь привяжите к концу подвеса два груза, тем самым увеличив массу вдвое.
16. Проанализируйте все свои записи и дайте ответ на вопрос: какой из параметров – масса, длина нити маятника или угол отклонения – влияет на величину периода?

Вывод

Вы выяснили, что изменить период маятника можно только посредством изменения длины его нити. Теперь вы можете экспериментальным образом подобрать такую нить, чтобы частота колебаний математического маятника была равна одному колебанию в секунду или любому другому числу.

В качестве дополнения к этому эксперименту вы можете попробовать узнать и провести опыт с маятником Фуко и создать полноценные часы, по которым можно будет определять текущее время и отмерять временные отрезки.

Проект: “Длина нити и скорость качания маятника”

Цель этого проекта – подробнее исследовать факторы, которые влияют на скорость колебаний маятника. Среди возможных параметров мы выбрали два: длина нити или стержня, на котором раскачивается маятник, а также вес, привязанный к ней.

Что нам понадобится

• Прочная хлопковая нить (при необходимости можно сложить ее в несколько раз);
• Грузы разной массы, которые можно привязать к нити;
• Канцелярские ножницы;
• Любые письменные принадлежности по выбору;

Ход эксперимента

1. Нарежьте нить на несколько кусков различной длины. К примеру, можно подготовить 30 сантиметров, 60 сантиметров и 90 сантиметров нити.
2. Закрепите на каждой нити по грузу. При необходимости используйте малярный скотч.
3. В качестве подпорки для конструкции вы можете использовать любую поверхность, предмет или даже свою руку.
4. Свободной рукой оттяните груз в сторону параллельно поверхности вертикальной подпорки.
5. Наблюдайте за колебаниями до тех пор, пока они не прекратятся окончательно.
6. Перемените длину нити и повторите описанный эксперимент. Обратите внимание на то, как именно изменилось движение маятника.
7. Проведите опыт с третьей длиной нити.
8. Теперь вернитесь к изначальной конфигурации и смените вес. Как на этот раз изменились колебания осциллятора?
9. Запишите все свои наблюдения и сделайте вывод о том, что из предложенных вариантов влияет на скорость, с которой происходят колебания.

Вывод

По результатам наблюдений вы узнали, что на период маятника может значительно влиять только длина нити или стержня, на котором он закреплён.

Проект: “Волновой аппарат из маятника”

Этот проект позволит вам создать красивую визуальную инсталляцию и наглядно убедиться в том, что даже считанные сантиметры длины нити могут изменить циклическую частоту колебаний самым радикальным образом. Продемонстрировать этот эффект можно при помощи простой установки из нескольких маятников разной длины.

Что нам понадобится

• Рулетка, линейка или метр длинной более половины метра;
• Нить или веревка длиной примерно 3,5 метра;
• Любые грузы одинакового веса в количестве девяти штук (грузы должны легко прикрепляться к нити);
• Скотч (канцелярский или малярный);
• Две подпорки высотой не менее одного метра (можно использовать две стопки книг одинаковой высоту);
• Балка не короче двух метров (можно использовать длинную деревянную или пластиковую линейку);

Ход эксперимента

1. Нарежьте нить на 9 кусков следующих длин:
   1. 44 сантиметра;
   2. 41 сантиметр;
   3. 39 сантиметров;
   4. 37 сантиметров;
   5. 35 сантиметров;
   6. 33 сантиметра;
   7. 31 сантиметр;
   8. 30 сантиметров;
   9. 29 сантиметров;
2. Если вы решили использовать в качестве балки линейку или другой предмет с отметками длины, то привяжите каждую нитку на расстоянии примерно 9 сантиметров от каждой из соседних и как минимум 10 сантиметров от края. Если же на вашей “балке” не отмечено расстояние, используйте линейку, рулетку или метр для того, чтобы определить его.
3. Под концы перекладины с привязанными кусочками нити положите стопки книг или другие подпорки одинаковой высоты не ниже одного метра.
4. Присоединение к концу каждой нитки по грузу для создания девяти маятников. Возьмите линейку или другой измерительный прибор и внимательно следите за тем, чтобы оставшаяся после завязывания обоих концов длина соответствовала значениям из приведенной ниже таблицы:

Номер осциллятора	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Длина (см)	35.7	33.0	30.6	28.5	26.6	24.8	23.2	21.8	20.5

1. Теперь вам нужно притянуть все маятники к себе примерно на 10 сантиметров от их изначального положения и одновременно отпустить. Для этого идеально подойдет еще одна длинна линейка, но при определенной сноровке то же самое можно проделать и руками.
2. Пусть все осцилляторы начнут раскачиваться одновременно, перпендикулярно балке и по параллельным друг другу дугам разного размера.
3. Внимательно смотрите на систему как минимум на протяжении ближайшей минуты. Вы наблюдаете какие-либо паттерны, повторяющиеся конфигурации? Наблюдать лучше всего сверху или параллельно линии, на которой подвешены маятники.

Вывод

Все девять маятников повторяют конфигурации раз в 30 секунд. Сначала они движутся в синхронизации, а затем делятся на две полосы (в одну входят четные, а в другую нечетные маятники), которые надвигаются друг не друга, превращаются в волну, стремительно уменьшающую свою амплитуду, вступают в краткий период хаотического движения и даже создают двойную волну, ассоциирующуюся с формой спирали ДНК.

Очевидно что суть всех необычных характеристик такой системы осцилляторов заключается в разнице их длин.

Рассмотрим физические принципы, стоящие за колебаниями этой системы, подробнее. Разница в движении возникает из-за того, что каждый из маятников совершает разное количество колебаний за отрезок времени, приблизительно равный 30 секундам. Первый и наиболее длинный маятник проходит свою дугу 25 раз, второй – 26, следующий – 27 и так далее; девятый маятник колеблется 33 раза за тот же интервал времени.

Есть несколько способов модифицировать эту модель. Во-первых, вы можете добавить еще больше осцилляторов, а во-вторых – увеличить длину нитей и тем самым продлить период всей конструкции (в данном случае период – это отрезок времени, через который все грузы будут одновременно находиться в своем изначальном положений. Также можно скомбинировать обе модификации для более интересного эффекта. Что бы вы не выбрали, прежде чем переходить к практической части вам будет полезно составить таблицу, аналогичную той, что была приведена в блоке “Ход работы” в пункте под номером 4. Для этого воспользуйтесь основной формулой, которая говорит о том, как найти длину маятника исходя из требуемого периода.

T=2π√l/g

Проект: “Ужасный маятник”

С точки зрения физики колебания математического маятника можно также представить как движение по окружности рычага, на которого действуют неуравновешенные друг другом силы. В таком случае для понимания процесса нужно ввести еще одну единицу, характеризующие любые колебания – амплитуду математического маятника, то есть расстояние между крайними точками, которых он достигает.

Очевидно, что амплитуда зависит от ещё одной единицы, определяющей раскачивание маятника – угла наклона стартовой позиции относительно вертикальной оси, на которой математический осциллятор находится в состоянии покоя.

Что нам понадобится

• 2 подпорки одной высоты (например, два стула с высокими спинками);
• Линейка;
• Нить или тонкая веревка;
• З груза одинаковой массы;
• Горизонтальная «балка» для закрепления маятников (хорошо подойдет длинная линейка);
• Малярный/канцелярский скотч;
• Маркер для письма на разных поверхностях;
• Ассистент;
• Транспортир;
• Секундомер;
• Письменные принадлежности;

Ход эксперимента

1. Ознакомьтесь с основными терминами и концепциями, которые пригодятся при проведении эксперимента и описании наблюдений:
   1. Маятник – в данном случае груз, подвешенный на нить или стержень и при сообщении ему некоторой энергии раскачивающийся из стороны в сторону под действием сил гравитации;
   2. Гравитация – сила, которая при проведении наблюдений на Земле притягивает все объекты к ее поверхности;
   3. Момент – сила движения (чаще всего применяется по отношению к рычагам);
   4. Инерция – свойство всех объектов двигаться прямолинейно или оставаться в состоянии покоя до тех пор, пока на к ним не будет приложена какая-либо сила извне;
   5. Период пружинного маятника – среднее время, за которое конкретный груз возвращается в ту же самую точку, откуда начал свое движение. Период обратен частоте и измеряется в секундах.
   6. Частота пружинного маятника – количество колебаний, разделенное на время, за которое они были совершены. Значение и формула обратны таковым у периода. Измеряется в секундах в минус первой степени (т.к. 1/с), но в СИ единицей измерения частоты являются Герцы (Гц).
   7. Циклическая частота пружинного маятника – аналог обычной частоты, но вместо обычного количества колебаний учитывается расстояние по дуге. По сути угловая частота представляет собой отражение количества колебаний, совершенных маятником за 2π секунд. Единица измерения циклической частоты – радианы, деленные на секунды (рад/с).
   8. Вес – привязанный к концу опорной нити или стержня груз, имеющий какую-либо массу.
2. Разложите перед собой все материалы из списка. Удостоверьтесь в том, что у вас есть все вышеперечисленное в достаточном количестве.
3. Сделайте подставку из двух стульев и линейки.
4. Нарежьте нить на три куска строго одинаковой длины.
5. Привяжите к каждой из нитей по весу.
6. Прикрепите нити к линейке на примерно одинаковом расстоянии (но также не слишком близко к спинкам стульев), тем самым создав 3 маятника. Следите за длинами нитей. Также желательно сконструировать подпорку так, чтобы грузы находились хотя бы в 10 сантиметрах от пола.
7. При помощи маркера и нескольких кусочков скотча пронумеруйте осцилляторы числами от 1 до 3.
8. По вашему сигналу при помощи ассистента (или нескольких) запустите все три маятника из разных позиций: номер 1 под углом 90 градусов к вертикальной оси, номер 2 под углом 60 градусов и номер 3 под углом 30 градусов. Углы следует отмерять при помощи транспортира. Не обязательно добиваться идеальной точности – главное, чтобы все углы очевидно визуально отличались друг от друга.
9. В момент начала раскачивания системы также запустите секундомер. Записывайте время, прошедшее до остановки каждого из маятников.
10. Повторите алгоритм ещё несколько раз и вычислите среднее арифметическое время для каждого из осцилляторов.
11. Представьте собранные данные в виде таблицы.
12. Проанализируйте свои наблюдения и результаты эксперимента.

Вывод

Вы выяснили, что продолжительности раскачивания маятника зависит от изначального угла наклона. Это очевидно исходит из того, что утрачивая с каждым колебанием небольшую часть своей энергии, он уменьшает и свою амплитуду и, как следствие, угол, на который он может раскачаться.

Полные версии формул, связанных с осцилляциями, часто включают всеблагой синус изначального угла наклона, но в большинстве случаев им пренебрегают из-за маленького размера используемых углов (синус, соответственно, крайне близок к 1).

Проект: “Живопись с помощью маятника”

Рисование краской часто советуют родителям для того, чтобы развить у детей чувство цвета и моторные навыки, поэтому у большинства дома есть хотя бы несколько баночек детской цветной гуаши. Но если обычные рисунки уже надоели и ребёнку, и вам, то можно соединить краску с простым самодельным маятником и попробовать новую технику рисования гуашью.

Обратите внимание, что этот проект может потребовать определенной сноровки и времени на подготовку материалов и рабочего места, но в результате вы получите крайне интересные рисунки.

Что нам понадобится

• Много ненужной газетной бумаги (для защиты окружающего пространства от попадания краски);
• Небольшая пластиковая воронка (лем меньше будет ваш холст, тем меньше должно быть горлышко воронки);
• Крепкая веревочка или нить;
• Любой скотч;
• Гуашевые краски одного или нескольких цветов;
• Разведенный водой крахмал;
• Ножницы;
• Небольшая емкость;
• Бумага;

Ход эксперимента

1. Прежде чем начать надежно защитите все поверхности и вещи в радиусе пары метров газетной бумагой.
2. Отрежьте достаточно длинный кусок нити и приклейте ее конец к верхней, самой широкой части воронки. Затем закрепите еще две нити примерно на одинаковом расстоянии друг от друга так, чтобы общая длина конструкции была равна 50-55 сантиметрам. При необходимости свяжите или соедините скотчем свободные концы нитей – так их будет проще держать в руке.
3. В отдельной емкости смешайте разведенный крахмал и гуашь так, чтобы получить менее густую текучую жидкость достаточно плотного и яркого цвета. Будьте осторожны с количеством и по возможности доливайте краску или крахмал медленно, постоянно помешивая и следя за консистенцией смеси.
4. Положите на пол один большой или несколько маленьких листков белой бумаги, которые будут служить вам холстом.
5. Аккуратно закройте горлышко воронки пальцем и залейте краску внутрь. Не торопитесь и следите за тем, чтобы краска не проливалась.
6. Запустите воронку как маятник и позвольте ей свободно раскачиваться, проливая краску на холст.
7. Когда воронка закончит свое движение, вы можете залить в нее новую краску и продолжить рисовать на новом или уже использованном холсте.

Вывод

В результате этого простого опыта на листке образовываются красивые узоры, которые могут напоминать изображение траектории движения в эксперименте с маятником Фуко. Для большего разнообразия вы можете выбрать другую воронку, изменить длину или траекторию маятника, а также попробовать использовать в качестве наполнителя не краску, а цветной или даже обычный песок, соль, клей или любые смеси из этих материалов.

Проект: “Маятник-каштан. Детская игра.”

Каштаны несъедобны в необработанном виде, но их несложно найти в городских парках и аллеях весной и летом. Поэтому дети из Англии в 1840-е годы придумали им простое и занимательное применение, а именно – игру под названием “Каштаны”. Она легко осваивается за пару минут и работает на базовых принципах осцилляторов.

Что нам понадобится

• Каштаны;
• Небольшая дрель;
• Прочная нить;

Ход эксперимента

1. Найдите каштаны. В определенный сезон их можно найти на улице, но если у вас не выходит, то свежие каштаны также продаются в некоторых продуктовых магазинов. Лучше всего приобрести или собрать по меньшей мере десяток каштанов сразу.
2. В собранных каштанах просверлите дрелью небольшие сквозные дыры.
3. Нарежьте нить на куски длиной примерно по 60 сантиметров.
4. Наденьте каждый каштан на нитку, а в конце завяжите один или несколько узлов так, чтобы орехи не спадали.
5. Вы готовы к игре! Вот ее правила:
   1. Один из игроков берет в руку каштан на нитке, держась за конец.
   2. Это же повторяют все игроки.
   3. Ведущий игрок тоже берет нитку с каштаном в руку. Его целью будет попасть своим каштаном в чужой и расколоть его. Для этого каштан надо потянуть на себя наподобие рогатки и сделать выстрел.
   4. У атакующего игрока есть три попытки, после чего ход переходит к кому-то другому.
   5. Побеждает тот, кому удается первым разбить каштан соперника.

Вывод

Вы узнали о том, как устроить простую игру из подручных средств – каштанов и ниток.

Заключение

Посредством приведенных выше опытов разного уровня сложности вы получили представление о том, что такое маятники, что они из себя представляют, как работают, какие физические силы стоят за их колебательными движениями, как вычисляются и как влияют на движение осциллятора масса груза, амплитуда, период, угол отклонения, а также обычная и циклическая частота колебаний. Вы научились задавать параметры колебания маятника на практике, запомнили несколько теоретических формул и пронаблюдали несколько известных парадоксов – например, передачу энергии в системе из двух маятников или волновое движение маятников с незначительно различающимися периодами. Помимо этого вы узнали немного о том, как можно использовать импровизированные колебательные конструкции в повседневной жизни.