Теория вероятности: расчет и определение вероятности, парадокс дней рождений.

Вероятность – это отношение количества благоприятного события к количеству всех возможных событий. Другими словами, это степень возможности наступления некоторого события.

Теория вероятности – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Возникновение этой теории относят к средним векам, когда были сделаны первые попытки математического анализа азартных игр.

Следующие проекты помогут вашему ребенку самостоятельно изучить и на простых примерах понять, что такое вероятность, и с интересом применять ее в жизни.

Проект «Вероятность выпадения монетки»

Вероятность – это такая неотъемлемая часть нашей жизни, что мы редко задумываемся о ней. Однако, каждый раз, когда мы используем такие слова, как «должно быть», «может», «несомненно», «непременно» или «возможно», мы озвучиваем вероятность события или, другими словами, возможность того, что оно произойдет.

Ученые и математики любят давать четкое определение вероятности. Например, если вы подбросите монетку в воздух, вероятность (P) того, что выпадет орел, может быть выражена:

P=m/n,

где m — это количество раз, когда выпадет орел, а n – это общее количество всех возможных вариантов выпадения монеты.

То есть, если вы подбрасывали монетку один раз, то орел может выпасть только один раз и m=1. При этом n=2, т.к. все возможные варианты выпадения это орел и решка и их – правильно, их два! Получается, что P=1/2.

Жизнь становится сложнее, когда мы вводим больше возможных результатов. Этот эксперимент включает расчет и демонстрацию вероятности при одновременном подбрасывании трех монеток. В этих условиях, какие шансы того, что выпадут три орла? Три решки? Два орла и решка? А что произойдет, если подкинуть четыре монетки?

Что нам понадобится:

  • журнал наблюдений и карандаш;
  • четыре монетки.

Ход эксперимента:

ЧАСТЬ I.

  1. Подбрасываются две монетки один раз. Сначала нарисуйте разные результаты подбрасывания двух монеток. А затем подсчитайте вероятность.
  2. Подсчитайте вероятность следующих выпадений:
  • Двух орлов.
  • Двух решек.
  • Одного орла и одной решки.
  1. Существует четыре возможные комбинации, поэтому убедитесь, что вы не пропустили ни одну из них.

ЧАСТЬ II.

  1. Подбрасываются три монетки один раз. Сначала нарисуйте разные результаты подбрасывания трех монеток. А затем подсчитайте вероятность.
  2. Подсчитайте вероятность следующих выпадений:
  • Трех орлов.
  • Трех решек.
  • Одного орла и двух решек.
  • Одной решки и двух орлов.
  1. Существует восемь возможных комбинаций, поэтому убедитесь, что вы не пропустили ни одну из них.
  2. Попробуйте подбросить три монетки 16 раз, запишите результаты. Соответствуют ли полученные результаты хотя бы приблизительно расчетам в шаге 2? Попробуйте подбросить 24 раза. Результаты приблизились к полученному расчету?

ЧАСТЬ III.

  1. Повторите первую часть эксперимента, только используя четыре монетки. Сколько существует разных комбинаций? Рассчитайте вероятности следующих выпадений:
  • Четырех орлов;
  • Четырех решек;
  • Трех орлов и одной решки;
  • Трех решек и одного орла;
  • Двух орлов и двух решек.

ЧАСТЬ IV.

  1. Спросите каждого ученика из своего класса, какой у него рост. Запишите эту информацию в своем журнале наблюдений. Важно, чтобы вы опросили учащихся одного класса, так как вам нужны данные людей примерно одного возраста.
  2. Просмотрите свои данные и отметьте, у скольких людей одинаковый рост. Например, в вашем классе может быть 2 ученика ростом 125 см, 3 ученика ростом 130 см, 5 учеников ростом 135 см, 6 учеников ростом 137 см и 1 ученик ростом 140 см.
  3. Оформите данные в виде графика, на котором ось X отражает число учеников, а ось Y показывает рост. Вы, скорее всего, обнаружите, что только у нескольких учеников очень высокий или очень низкий рост, а наибольшее количество учеников расположено посередине. Этот вид распределения называется Гауссовой кривой.

Вывод:

Расскажите, как можно выразить вероятность того, что событие произойдет. И как процесс нахождения вероятности связан с другими науками?

Проект «Вероятность выпадения цифры на кубике»

Игральные кубики

Кубики – отличный способ научиться разбираться в теории вероятности.

Кубики или, как их еще называют, кости – отличный способ научиться разбираться в теории вероятности. Разные комбинации, которые они предлагают, являются идеальной основой для выяснения многих связанных с ней вопросов. Например, нам нужно будет ответить на такой вопрос: «Какова вероятность того, что общая сумма двух брошенных кубиков будет равна 9?»

Предлагаем быструю игру, которая поможет нам понять и запомнить разницу между выпавшими Глазами змеи и Счастливой семерки!

Что нам понадобится:

  • пара кубиков разных цветов;
  • лист бумаги;
  • немного конфет или другой вид сладостей.

Ход эксперимента:

  1. Сыграйте в игру, во время которой нужно просто бросать два кубика снова и снова. Перед этим подумайте, почему броски с результатами «7», «2» и «12» являются наиболее важными.
  2. Сколько существует разных комбинаций выбросить 2 кубика, если на каждом из них – по 6 вариантов? Существует 6 х 6 = 36 возможных комбинаций.
  3. Сколько существует комбинаций выбросить число «2», используя два кубика? Существует только одна комбинация: 1 + 1.
  4. Сколько существует комбинаций выбросить число «7»? Существует 6 комбинаций: 1 + 6, 6 + 1, 2 + 5, 5 + 2, 3 + 4, 4 + 3.
  5. Потратьте время и выясните все комбинации выпадения кубиков. Заполните последние два столбца таблицы таким же образом, как для чисел «2» и «7».
ЧислоКоличество комбинацийВероятность выпадения
211/36
3__/36
4__/36
5__/36
6__/36
766/36=1/6
8__/36
9__/36
10__/36
11__/36
12__/36
  1. Когда вы закончите, таблица должна выглядеть так:
ЧислоКоличество комбинацийВероятность выпадения
211 / 36
322 / 36 = 1/18
433 / 36 = 1/12
544 / 36 = 1/9
655 / 36
766 / 36 = 1/6
855 / 36
944 / 36 = 1/9
1033 / 36 = 1/12
1122  / 36 = 1/18
1211 / 36
  1. А теперь проведите испытание для кубиков. Постарайтесь выбросить указанное число. У вас будет две возможности получить в награду подготовленные конфеты: если вы выбросите указанное число или если подсчитаете правильную вероятность выпадения этого числа. Удачи!

Выбросьте число: 9 (1/9), 11 (1/18), 8, (5/36), 12 (1/36), 5 (1/9), 7 или 11 (6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9), 2 или 6 (1/36 + 5/36 = 6/36 = 1/6), 2, 6, 7 или 11 (1/36 + 5/36 + 6/36 + 2/36 = 14/36 = 7/18).

Можете выбрать свое число и сделать расчеты для него.

Вывод:

Ответьте на вопросы. Как правильно найти вероятность путем вычисления? Как она проявляет себя в азартных играх на примере игры в кости?

Проект «Вероятность выпадения карты»

Давайте научимся создавать «ровное игровое поле» во время игры в карты, то есть игру с равными возможностями. Это не означает, что каждый игрок выиграет, но это означает, что с помощью концепции вероятности может быть измерена справедливость.

Этот эксперимент покажет, что происходит, когда азартная игра начинается несправедливо, и как ее изменить, чтобы оба игрока имели равные шансы на успех.

Что нам понадобится:

  • колода карт.

Ход эксперимента:

  1. Перетасуйте колоду и положите на стол одну карту лицевой стороной вниз.
  2. Переверните карту. Если это бубны, оставьте ее себе. Если другая масть, отложите ее для воображаемого дилера. Продолжайте играть 10 раундов и посмотрите после завершения игры, забрали ли вы больше карт или отложили.
  3. Считаете ли вы игру честной? Почему нет? Поскольку колода карт состоит из четырех мастей, шанс того, что выпадут бубны, составляет 25%. Это означает, что шанс у воображаемого дилера на выигрыш составляет 75%. Как сделать игру более справедливой?
  4. На этот раз раздайте две карты одновременно. Как это влияет на шансы с точки зрения теории вероятности в играх? Что будет происходить, если вам нужно будет оставить себе бубны и трефы?

Вывод:

Придумайте другие способы игры, которые также были бы математически справедливыми.

Проект «Может ли человек повлиять на вероятность»

Подбрасывание монетки уже давно используется в качестве беспристрастного определяющего фактора. Выбирая между двумя вариантами, некоторые люди обращаются именно к монетке, чтобы она подсказала им вариант. Ею иногда пользуются даже для определения того, какая спортивная команда завладеет мячом первой, что может дать значительное преимущество той или иной команде.

Хотя кажется, что за большое количество попыток монетка приземляется орлом или решкой равное количество раз, есть некоторые исследования, которые предполагают, что ее подбрасывание не может быть действительно случайным явлением. Люди влияют на окружающий мир разными способами. Можно предположить, что человек, подбрасывающий монетку, может менять ее траекторию так, чтобы она падала орлом или решкой чаще, чем предсказывает вероятность.

В этом эксперименте мы узнаем, может ли на результат подбрасывания повлиять сам человек. Цели эксперимента:

  1. Определить шансы падения монетки орлом или решкой.
  2. Выяснить, может ли человек, подбрасывающий монетку, повлиять на нее так, чтобы она приземлилась определенным образом.

Что нам понадобится:

  • монетка;
  • несколько добровольцев.

Ход эксперимента:

  1. Подбросьте монетку 100 раз. Не пытайтесь каким-либо образом повлиять на результат, просто подбрасывайте монетку, дайте ей упасть на пол, стол или другую поверхность и запишите результаты.
  2. Запишите результаты в таблице, как показано ниже.
  3. Подбросьте монетку 100 раз, пытаясь заставить ее приземлиться орлом. Дайте ей упасть на пол, стол или другую поверхность.
  4. Запишите результаты.
  5. Подбросьте монетку 100 раз, пытаясь заставить ее приземлиться орлом. Ловите монетку в воздухе и переворачивайте ее еще раз на тыльную сторону другой руки.
  6. Запишите результаты.
  7. Повторите шаги 1-6 с другими участниками. Чем больше попыток вы сделаете, тем точнее будут ваши результаты.
№ попыткиБыло ли влияние?Ловили монетку?Орел (общим итогом)Решка (общим итогом)
1 (участник 1)нетнет
2 (участник 1)данет
3 (участник 1)дада
4 (участник 2)нетнет
5 (участник 2)данет

Вывод:

Ответьте на вопросы. Что в математике соответствует выражению «случайным образом»? Какова статистическая вероятность того, что подброшенная 100 раз монетка упадет 100 раз орлом? Того, что она упадет 50 раз орлом и 50 раз решкой? Или того, что каждый раз будут чередоваться орел и решка? Что такое значительное статистическое отклонение? Сколько попыток необходимо сделать, чтобы получить статистически значимые результаты? Насколько точны статистические данные? Как можно использовать статистику для введения в заблуждение?

Проект «Парадокс дней рождений»

Парадокс дней рождения утверждает, что при условии нахождения в комнате всего 23 человек, существует шанс 50/50 обнаружения двух людей с общими днями рождений. Если в комнате находятся 75 человек, шанс обнаружения двух таких людей составит 99,9%.

В этом эксперименте мы рассчитаем парадокс дней рождения, и определим, работает ли он в реальной жизненной ситуации.

Что нам понадобится:

  • примерно 150 испытуемых;
  • калькулятор;
  • 150 карточек;
  • ручка;
  • блокнот для записей и анализа результатов.

Ход эксперимента:

  1. Чтобы понять парадокс дня рождения, начните с оценки упрощенной версии задачи: Какова вероятность того, что в группе из трех участников, двое или более человек родились в один и тот же день года? Во многих случаях вероятностные задачи могут быть решены путем анализа дополнительной задачи. В этом случае основной проблемой является возможность того, что двое из трех участников будут иметь дни рождения в один день, а дополнительной проблемой – что у нуля из этих трех человек будут эти праздники в один день.
  2. У каждого из трех участников может быть день рождения в любой день из 365 дней в году. Таким образом, общие шансы можно рассчитать путем умножения (365x365x365). Чтобы определить возможность существования общего «дня варенья» у двух членов группы, сначала рассчитайте вероятность того, что у двух членов группы нет общего дня рождения. Это значение должно быть затем вычтено из единицы. Так как общая вероятность равна единице. Существует 365 возможных дней для дня рождения первого человека. Тогда существует 364 возможных дней в году, которые позволят дню рождения второго человека отличаться от дня рождения первого человека. Аналогичным способом, днем рождения третьего человека должен быть один из оставшихся 363 дней в году, чтобы не делить этот день с двумя другими участниками группы.
  3. Следовательно, шанс того, что во взятой группе не будет общего дня рождения, составляет: (365x364x363) / (365x365x365) или 0,992. Представляется весьма маловероятным общий день рождения у двух членов этой группы, так как шанс того, что у двух или более участников будет один праздник, составляет (1 — 0,992) или 0,008. Это означает, что существует приблизительно 1 шанс из 125, что в один день будет день рождения, по крайней мере, у двух человек в группе из трех человек.
  4. Используя такой же математический анализ, вычислите вероятность одного дня рождения для двух человек, когда группа увеличится до 23 человек.
  5. Что произойдет в математическом анализе, когда вы увеличиваете размер группы до 75 участников?
  6. Проверьте применимость парадокса дней рождения в реальном мире.
  7. Запишите на карточках дни рождения 150 человек.
  8. Перемешайте карточки, выберите случайным образом 23 карточки.
  9. У скольких человек в этой «группе» праздник в один и тот же день?
  10. Повторите шаги 6 и 7 несколько раз. Как часто вы встречаете общий день рождения среди 23 человек? Получается соотношение 50/50?
  11. Теперь перемешайте карточки и выберите случайным образом 75 карточек.
  12. Сколько из этих людей делят день рождения?
  13. Повторите шаги 9 и 10 несколько раз. Получается ли у вас, что, по крайней мере, двое из 75 человек делят день рождения в 99,9% случаев?

Вывод:

Подумайте над использованием этого парадокса в жизни. Как и где его можно применить?

Заключение

Свойства вероятности и их изучение – очень интересная тема, а результаты исследований теории вероятности не только становятся научными достижениями, но и применяются в жизни. Поэтому желаем вам хорошо разобраться в этой теме и не забывать применять полученные знания на практике!

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector